ความมหัศจรรย์ของคณิตศาสตร์ก็คือมันสามารถเป็น ทั้งความจริงและอุดมคติได้ในเวลาเดียวกัน นักปรัชญาคนแรกที่รู้ว่าดวงอาทิตย์อยู่ไกลกว่าดวงจันทร์ เพราะเขารู้จักรูปสามเหลี่ยมดีพอ รูปทรงต่างๆมีความลับซ่อนอยู่

ทีนี้เราลองมาจินตนาการถึงอะไรซักอย่างนึงครับ

ให้เราจินตนาการถึงรูปทรงซักอย่างนึง เป็นรูปทรง 3 มิติ ที่เป็นรูปทรงปิด มีด้านอยู่เพียงด้านเดียว เพราะเราบอกไม่ได้ว่าตรงไหนคือด้านนอกและตรงไหนคือด้านใน ทุกด้านคือด้านเดียวกัน และรูปทรงนั้นจะต้องไม่มีขอบเขต ซึ่งก็หมายถึงว่าเราต้องสามารถลากนิ้วไปบนรูปทรงนั้นเรื่อยๆ โดยไม่ตกขอบ และสามารถสัมผัสทุกๆส่วนของพื้นผิวของรูปทรงนั้นได้ โดยไม่ต้องยกนิ้ว

งงใช่เปล่าครับ? ตอนนี้หลายคนคงคิดถึงลูกบอล แล้วคิดว่าลูกบอลก็ทำอย่างนั้นได้ แต่ไม่ใช่นะ เพราะว่าเราสามารถสัมผัสได้แค่ผิวด้านนอกของมัน และลูกบอลก็ยังถือว่ามีสองด้าน คือข้างนอกกับข้างใน มันเป็นรูปทรงแบบปิดที่เราไม่สามารถสัมผัสด้านในของมันได้

ทีนี้ยิ่งงงไปกันใหญ่เลย มันจะมีรูปทรงแบบนั้นได้ยังไงกัน 555+ รูปทรงปิดที่เราสามารถสัมผัสด้านในได้เนี่ย… มันมีอยู่ครับ เขาเรียกว่า “พื้นผิวไคลน์ (Klein Bottle)”

พื้นผิวไคลน์ ก็คือ รูปทรงที่มี 1 ด้าน และไม่มีขอบ

ลองมาจินตนาการกันแบบง่ายๆ สมมติว่าเรามีแถบกระดาษรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวๆอยู่อันหนึ่ง แถบกระดาษนั้นจะมี 2 ด้าน 4 ขอบ

ทีนี้เราจะพยายามสร้างสิ่งที่มีแค่ 1 ด้าน และไม่มีขอบ เราจะทำอย่างไร?

(1) ถ้าเราเอาปลายของแถบกระดาษมาบรรจบกัน เราก็จะได้ทรงกระบอกที่มี 2 ด้าน 2 ขอบ

(2) ถ้าไม่อยากให้มันมีขอบ เราต้องม้วนมันในแนวนอนก่อน(ให้เป็นรูปท่อ) แล้วค่อยเอาปลายทั้งสองด้านมาบรรจบกัน เราจะได้รูปทรงแบบขนมโดนัท เป็นรูปทรงปิด แต่มันก็ยังจะมีสองด้านอยู่ดี คือข้างนอกกับข้างใน

(3) วิธีที่จะทำให้กระดาษแผ่นนั้นมีเพียงด้านเดียว มีอยู่วิธีหนึ่งคือ บิดมันครึ่งรอบ แล้วค่อยจับมาบรรจบกัน ทีนี้ด้านนอกกับด้านในมันจะเป็นด้านเดียวกัน เราจะใช้ดินสอลากโดยเริ่มจากตรงไหน มันก็จะเชื่อมถึงกันในที่สุด เราเรียกสิ่งนี้ว่า แถบเมอบีอุส(Möbius strip) แต่ว่าแถบเมอบีอุสก็จะมี 2 ขอบอยู่ดี

(4) จะเห็นว่าถ้าเราจะสร้างรูปทรงที่มี 1 ด้าน ไม่มีขอบ เราจะต้องเอาคุณสมบัติข้อ (2) และ (3) มารวมกัน คือต้องทำให้เป็นแบบแถบเมอบีอุส แล้วทำให้มันไม่มีขอบแบบโดนัท

ฟังดูเหมือนง่ายใช่มั๊ยครับ แต่ว่าเราไม่สามารถทำอะไรแบบนั้นในโลกของความจริงได้ โลกของวัตถุที่เรารับรู้ได้นั้นเป็นอวกาศ 3 มิติ แต่การจะทำอะไรแบบข้อ (4) มันจะเกิดขึ้นได้ในอวกาศที่มี 4 มิติขึ้นไป ซึ่งเรามีมิติไม่พอสำหรับวัตถุเช่นนั้น (มิติที่ 4 ของเราคือเวลา)

แบบจำลองที่เราเห็นในภาพนี้ เป็นกราฟฟิกที่สร้างขึ้นจริงไม่ได้ หรือแม้จะพยายามสร้างได้ก็เป็นได้แค่แบบจำลองที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข มีการพยายามสร้างวัตถุที่มีพื้นผิวไคลน์ในรูปแบบ 3 มิติ ก็จะออกมาเป็นอย่างในภาพ แต่ที่จริงพื้นผิวไคลน์จะต้องไม่มีส่วนไหนซ้อนทับกับตัวของมันเอง แต่เราก็สมมติเอาว่าส่วนที่มันซ้อนเข้าไปในตัวของมันนั้นคือส่วนที่อยู่ใน มิติที่ 4

ไม่ต้องเครียดนะครับ ผมเอามาให้อ่านเพราะอยากให้จินตนาการตามเฉยๆ การจินตนาการถึงเรื่องแบบนี้เยอะๆ จะทำให้เราคิดอะไรๆได้เร็วขึ้น ซับซ้อนขึ้น และลึกซึ้งขึ้นอย่างไม่รู้ตัวในทุกๆเรื่องครับ

ที่มา http://www.indepencil.com/klein-bottle-%E0%B8%A3%E0%B8%B9%E0%B8%9B%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B9%82%E0%B8%A5%E0%B8%81%E0%B8%99%E0%B8%B5%E0%B9%89%E0%B8%A1%E0%B8%B5%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%88/#more-2288