ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (Fermat’s Last Theorem)

นฤพนธ์  สายเสมา รวบรวมและเรียบเรียง

ปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์

เมื่อประมาณกลางสมัยกรุงศรีอยุธยา หรือประมาณ พ.ศ. 2180 มีนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสคนหนึ่ง ซึ่งมีความรู้ทั้งทางด้านกฎหมาย บทกวี วรรณคดี ตามแบบฉบับของนักปราชญ์ของยุโรปในสมัยนั้น ชื่อ ปีแอร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat) ได้เสนอทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ซึ่งนักคณิตศาสตร์ในรุ่นหลังๆ ให้ชื่อว่า “ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์” (Fermat’s Last Theorem) แฟร์มาต์เสนอทฤษฎีบทคล้ายกับการเสนอทฤษฎีทางเรขาคณิต กล่าวคือ เมื่อเสนอแล้วก็ต้องมีการพิสูจน์ว่าข้อเสนอนั้นถูกต้อง แต่ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้เป็นเวลากว่า 3 ทศวรรษครึ่ง แม้แต่แฟร์มาต์เองก็ไม่สามารถแสดงบทพิสูจน์ไว้ แฟร์มาต์เขียนไว้ในที่ว่างของกระดาษของหนังสือที่เสนอเรื่องนี้ว่า “ข้าพเจ้าได้พบบทพิสูจน์ที่นับว่ามหัศจรรย์ยิ่ง แต่ไม่สามารถจะเขียนบทพิสูจน์นี้ลงไปในที่ว่างเล็กๆ นี้ได้” แต่ว่าข้อเท็จจริงก็คือ  แฟร์มาต์ยังมีชีวิตยืนยาวอยู่จากวันนั้นถึง 28 ปี  แต่หาได้แจงบทพิสูจน์นี้ออกมาไม่  นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อๆ มาจึงพากันเชื่อว่าแฟร์มาต์ไม่ได้พบบทพิสูจน์ดังที่อ้างอิงแต่อย่างใด

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ดูเป็นของพื้นๆ แต่การพิสูจน์นั้นไม่พื้นๆ อย่างตัวทฤษฎีเลย  เราทราบกันดีว่า  สมการ   นี้เป็นไปได้ (ก็ทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั่นแหละครับ) เพราะสามารถหาจำนวนเต็มที่เป็นบวกอย่างน้อย 1 ชุด เมื่อแทนค่า x, y และ z แล้ว จะสอดคล้องกับสมการนี้ได้ ในกรณีนี้ คือ 3, 4 และ 5 ชุดหนึ่ง เพราะว่า 32 + 42 = 52  ชุดต่อไปคือ 5, 12 และ 13 เพราะว่า 52 + 122 = 132 และอื่นๆ

ต่อไปนี่จะกล่าวถึงทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (ชื่อว่าบทสุดท้าย แต่จริงๆ ไม่ใช่สุดท้ายในชีวิต แต่เป็นสุดท้ายของหนังสือ)

ตราไปรษณียากรทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

บทพิสูจน์ได้กลายเป็นจุดท้าทายของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกในช่วง 350 ปีที่ผ่านมา มีนักคณิตศาสตร์มือดีหลายต่อหลายคนได้พยายามพิสูจน์  แต่ก็ไม่ประสบความสำเร็จ (เหมือนสัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิดเลย) แต่ความพยายามของนักคณิตศาสตร์เหล่านั้นบางท่านได้ผลพลอยได้อยู่ที่ได้เปิดแขนงของคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ขึ้นมา (นี่ก็เหมือน)

เมื่อประมาณปี พ.ศ. 2531 ได้มีนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นคนหนึ่ง ชื่อ โยอิชิ มิยาโอกะ ซึ่งทำท่าว่าจะสร้างบทพิสูจน์ขึ้นมาได้  ในบทพิสูจน์ของโยอิชินี้ดูเหมือนจะชี้ให้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กับเรขาคณิตแกนโค้ง (คืออะไรหว่า) แต่ปรากฏว่าบทพิสูจน์ของโยอิชิก็ต้องล้มเหลว เหมือนกับบทพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ก่อนหน้านั้น

แอนดรูว์ เจ. ไวลส์

ในที่สุดความพยายามตลอด 350 ปี ของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกก็เป็นผล  เป็นเรื่องฮือฮาอย่างสุดยอดในวงการคณิตศาสตร์  เมื่อมีนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อ แอนดรูว์ จอห์น ไวลส์ (Andrew John Wiles) ซึ่งเป็นอาจารย์สอนอยู่ที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (PrincetonUniversity) สหรัฐอเมริกา (ที่เดียวกับจอห์น แนช เลย) ได้ไปแสดงปาฐกถาที่มหาวิทยาลัยแคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ (CambridgeUniversity) เมื่อราวๆ ปลายเดือนมิถุนายน 2536 และประกาศว่าได้ค้นพบบทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แล้ว พร้อมทั้งเสนอข้อพิสูจน์อย่างย่อๆ

บทพิสูจน์สมการฉบับสมบูรณ์ของไวลส์นั้นยาวถึง 200 หน้า บทพิสูจน์ส่วนหนึ่งเป็นคำตอบของปริศนาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า “ข้อคาดเดาของตานิยามา-ชิมุระ” (Shimura-Taniyama-Weil Conjecture)  ซึ่งพูดถึงเรื่องเส้นโค้งของวงรี  อันที่จริงนักคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยเบอร์กลีย์คนหนึ่งชื่อ รีเบท (Ribet) ได้เคยบอกใบ้ไว้ว่าคำตอบของปริศนานี้น่าจะเป็นแนวทางสำหรับทำการบทพิสูจน์ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์  และไวลส์ก็ได้ทำตามนั้น  แต่นักคณิตศาสตร์ระดับชั้นนำของโลกก็ยอมรับว่าบทพิสูจน์ของไวลส์มีแนวทางที่เป็นการสร้างสรรค์ที่มหัศจรรย์  กล่าวคือ  นำสิ่งที่ซับซ้อนมากมายหลายชั้นเข้ามาประสานกันเป็นบทพิสูจน์ที่สวยงามได้สำเร็จ

ปัญหาที่เราต้องถามกันอีกข้อหนึ่ง คือ  เป็นไปได้หรือไม่ที่บทพิสูจน์ของไวลส์อาจจะผิดและต้องแทงเข้าบัญชีความล้มเหลวอย่างที่แล้วๆ มา  คำตอบคือมีทางที่ไวลส์จะผิดได้แต่ค่อนข้างยาก  ผู้เชี่ยวชายหรือนักคณิตศาสตร์ที่สามารพที่จะยืนยันหรือตรวจสอบบทพิสูจน์ของไวลส์ดูว่าถูกหรือไม่นั้นมีจำนวนไม่มากนัก  คือ  ประมาณ 200 ถึง 300 คน  เท่านั้น  และมีนักคณิตศาสตร์เพียง 10 คน เท่านั้นที่สามารถอ่านบทพิสูจน์ของเขาอย่างเข้าใจแจ่มแจ้ง  หลังจากการตรวจก็พบว่ามีจุดที่ผิดอยู่เล็กน้อยและได้แก้ไขอยู่ 14 เดือน จนกระทั่งถูกต้องและคำยืนยันก็ออกมาแล้วว่าถูกต้องใช้ได้ และมีการตีพิมพ์ออกมาอย่างเป็นทางการในวารสาร Journal of Mathematics ฉบับเดือนพฤศจิกายน ปี พ.ศ. 2538

และปัญหาอีกข้อที่ว่า  บทพิสูจน์ของไวลส์จะทำให้วงการคณิตศาสตร์ซบเซาเพราะไม่มีอะไรจะให้คิดกันอีกแล้วหรือไม่นั้น  คำตอบก็คือ  การแก้ปัญหาใดๆ ในโลกไม่ว่าจะเป็นการทำบทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์หรือการแก้ปัญหาพื้นๆ อื่นๆ ก็ตาม มักจะทำให้เกิดหรือเห็นปัญหาอื่นๆ กว้างขวางขึ้นไปอีก  สำหรับบทพิสูจน์ของไวลส์นั้น  จะทำให้เกิดปริศนาคณิตศาสตร์อื่นๆ อีก  ซึ่งจะช่วยให้นักคณิตศาสตร์มีงานทำในแนวนี้อีกอย่างน้อยไม่ต่ำกว่า 350 ปีเลยทีเดียว